ENSCK 2021 Mathématiques

Question 1 :

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n + 2}$ et $v_n = \frac{u_n}{u_n + 1}$. Alors:

A) $\forall n \geq 0, v_{n+1} = 1 + v_n$

B) $\forall n \geq 0, v_n = (\frac{1}{2})^n$

C) $\forall n \geq 0, v_n = (\frac{1}{2})^{n-1}$

D) $v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n$

Question 2 :

Pour les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies précédemment:

A) $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$

B) $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

C) $\lim_{n \to +\infty} u_n = -1$

D) $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Question 3 :

Dans l'ensemble C, si $z = \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ alors:

A) $|z - 1| = 1$, $\arg(z - 1) = \frac{5\pi}{3}[2\pi]$

B) $|z - 1| = 1$, $\arg(z - 1) = \frac{11\pi}{6}[2\pi]$

C) $|z - 1| = \sqrt{3}$, $\arg(z) = \frac{5\pi}{3}[2\pi]$

D) $|z - 1| = \sqrt{3}$, $\arg(z) = \frac{11\pi}{6}[2\pi]$

Question 4 :

La limite $\lim_{x \to +\infty} (1+\frac{1}{x})^x$ est égale à:

A) 1

B) e

C) $\frac{1}{e}$

D) $\frac{-1}{e}$

Question 5 :

La libéralisation de l'expression $\sin(x) \cos(2x)$ est donnée par:

A) $\frac{1}{2}(\cos(3x) + \sin(x))$

B) $\frac{1}{2}(\sin(3x) - \cos(x))$

C) $\frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin(x))$

D) $\frac{1}{2}(\cos(3x) + \sin(x))$

Question 6 :

On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par: $u_n = \frac{1}{2^n}$. On pose $S = \sum_{k=5}^{12} u_k$

A) $S = (\frac{1}{2})^k - (\frac{1}{2})^{17}$

B) $S = (\frac{1}{2})^k - (\frac{1}{2})^6$

C) $S = (\frac{1}{2})^6 - (\frac{1}{2})^{12}$

D) $S = (\frac{1}{2})^4 - (\frac{1}{2})^{12}$

Question 7 :

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes tels que: $z_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$ et $z_2 = -3i$

A) $\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2} e^{\frac{3i\pi}{4}}$

B) $\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2} e^{\frac{i\pi}{4}}$

C) $z_1 z_2 = 6e^{\frac{-i\pi}{4}}$

D) $z_1 z_2 = 6e^{\frac{i\pi}{4}}$

Question 9 :

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison $\frac{1}{2}$. La somme $\ln(u_0) + \ln(u_1) + ... + \ln(u_n)$ est égale à:

A) $\frac{1}{2}(n + 1)(2 - n) \ln(2)$

B) $\frac{1}{2}(n - 1)(2 - n) \ln(2)$

C) $\frac{1}{2}(n - 2)(1 + n) \ln(2)$

D) $\frac{1}{2}(n + 2)(1 - n) \ln(2)$

Question 10 :

Soient $z_1$ et $z_2$ les solutions complexes de l'équation $x^2 - 4x + 8 = 0$. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{\mathcal{V}}, \vec{\mathcal{V}})$, on considère les points $M_1$ et $M_2$ d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$.

A) $z_1 = -2 - 2i$, $z_2 = -2 + 2i$

B) $\mathcal{R}e(z_1) = -\mathcal{R}e(z_2)$

C) $M_1$ et $M_2$ sont sur le cercle de centre 0 et de rayon $3\sqrt{2}$

D) $OM_1M_2$ est un triangle isocèle en $O$

Question 11 :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \in ]0, 2], \\ -x+4 & \text{si } x \in ]2, 4]. \end{cases}$

A) $f$ est dérivable au point 2

B) $f$ n'est pas continue au point 2

C) $f$ n'est pas dérivable au point 2

D) $f$ n'est ni dérivable ni continue au point 2

Question 12 :

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x(\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1})$. Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{\gamma}, \vec{\gamma})$.

A) La courbe $\mathcal{C}$ est située au dessus de la droite $(D)$ sur l'intervalle $[0, +\infty[$

B) La droite $(D)$ d'équation $y = x$ est une asymptote oblique de $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$

C) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1$

D) La droite $(D)$ d'équation $y = x$ coupe $\mathcal{C}$ sur $[1,+\infty[$

Question 13 :

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = e^{-x} \ln(|1-e^x|)$. Son domaine de définition est:

A) $\mathbb{R}^*$

B) $]-\infty, 0[$

C) $]-\infty, 0]$

D) $]1, +\infty[$

Question 14 :

Pour la fonction $f$ précédente, la limite $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ est égale à:

A) $+\infty$

B) $-1$

C) $-\infty$

D) $1$

Question 15 :

Pour tout $x \in D_f, f'(x)$ vérifie:

A) $f'(x) + f(x) = -\ln(|1-e^x|)$

B) $f'(x) + f(x) = -e^{-x}$

C) $f'(x) + f(x) = 0$

D) $f'(x) + f(x) = \frac{-1}{1-e^x}$

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